【matplotlib】Pythonで比例式を解く【高校数学】

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比例式とは？

そもそも比例式の比とは、２つの量の比率を表す値です。

①お米１合に対して200mlであれば、以下のようになります。

\(1:200\)

②お米2.5合に対する水の量をxmlとします。

\(2.5:x\)

③この２つの比は等しいので以下のように表せます。これが比例式です。

\(1:200 = 2.5:x\)

比例式は、内項と外項を掛けた値に等しいという性質があります。この性質を利用して、③の以下のような式が成り立ちます。

\(1\times x=2\times 2.5\)

\(x=5.0\)

つまり、お米2.5の時のお米の水加減は500mlとなります。

また、2つの比率を表す\(m:n\)を\(\frac{m}{n}\)のように分数で表すこともできます。

線分m:nを内分点する

数学の世界で、

ある2点を結ぶ直線のことを「線分」と言います。

ある線分を\(m:n\)に分ける点のことを「内分点」と言います。

線分ABを\(m:n\)に内分する内分する点Pをxとします。

APの長さは\(x-x_1\)、PBの長さを\(x_2-x\)で求められます。

この長さの比と\(m:n\)は等しいので、

\(x-x_1:x_2-x=m:n\)

という比例式が成立します。これをxについて解くと、

\((x_2-x)m=(x-x_1)n\)

\(mx_2-mx=nx-nx_1\)

\(mx+nx=mx_2+nx_1\)

\((m+n)x=mx_2+nx_1\)

\((m+n)x=mx_2+nx_1\)

\(x=\frac{mx_2+nx_1}{m+n}\)・・・①

反時計回りに90°回転すると、y軸方向の垂直線になります。

始点を\(y_1\)、終点を\(y_2\)として同じように比例式を立てると、この線分\(m:n\)を内分する点yは次の式で求めることができます。

\(y=\frac{my_2+ny_1}{m+n}\)・・・②

線分の中点を求める方程式

線分を\(1:1\)に分ける内分点を中点と呼びます。

先ほど求めた式①②のmとnに1を当てはめると、

\(x=\frac{x_2+x_1}{2}\)　\(y=\frac{y_2+y_1}{2}\)

となります。

つまり、始点と終点のx座標・y座標をそれぞれ平均したのが中点です。以下の場合は、\((\frac{1+4}{2})\)　\((\frac{1+5}{2})\)となり、中点の座標は\((2.5,3)\)となります。

垂直二等分線のグラフをPythonで描く

ある線分の中点を通って、その線分と直交する直線のことを垂直二等分線と呼びます。

\((0,1)\)、\((6,5)\)を結ぶ線分を直交する垂直二等分線を求めます。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

#基となる線分の傾きと切片
a1 = (5 - 1)/(6 - 0)
b1 = 1

#線分の中点
cx = (0 + 6) / 2
cy = (1 + 5) / 2

#線分に直交する直線の傾き(a2 = -1/a1)
a2 = -1 / a1

#線分に直交する直線の切片
b2 = cy - a2 * cx

#直線の式
x = np.arange(0, 7)
y1 = a1 * x + b1
y2 = a2 * x + b2

#描画
plt.plot(x , y1)
plt.plot(x , y2)
plt.axis('equal')
plt.grid(color='0.8')
plt.show()

結果：

#線分に直交する直線の傾き(a2 = -1/a1)
a2 = -1 / a1

cx = (0 + 6) / 2
cy = (1 + 5) / 2

次回

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